奇变偶不变,符号看象限

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问题起因

这两天在学习三角函数过程中,突然想起来了高中那句口诀’奇变偶不变,符号看象限’.这句口诀前半部分,奇变偶不变很容易理解,关键是后面的符号看象限的部分,我查了一下这部分怎么理解,我发现网上普遍是说这样的:对于

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网上说法大概是这样的,要将α角始终视作是锐角(就算阿尔法角不是锐角也要视作锐角),则这句口诀就能成立,验证了一下也确实如此,但是我没想通为啥一定要视作锐角.于是强行把α看成其他象限角之后果然口诀不能用

结果

在我的好友高从超 大佬的点拨下,最后我明白了为什么要视作锐角.(一开始我是用枚举证的,显得有点牵强)

首先,sin(π/2 * k + α)(对于cos同理)通过这句口诀化成±cosα或者是±sinα的时候,口诀是这么用的,只要左边的式子(sin(π/2 * k + α))中将α视作锐角时,π/2 * k + α落在第几象限,就看那个象限里sin的正负号,sin如果为正号则右边的式子为正号,sin如果在该象限为负号则右边的式子为负号.那么问题来了,为什么左边的式子结果的正负,能直接决定右边式子的正负?答案很显然,右边的式子在不看正负号情况下的sinα或者cosα显然必须为正.那么在哪个象限里头sinαcosα都为正呢?显然是第一象限,所以这个诱导公式口诀通过这样逆推其实是可以推导得出,α视作锐角(或者锐角+2k*π,k为自然数)时才成立

引发的思考

引发的思考就是,这句口诀为什么适用于α角是任意角的情况下(即α角并不一定需要在第一象限这个式子也能成立,只要将α角视作是锐角,运用口诀即可).我觉得这是一种巧合.首先,我以sin(π/2 + α)为例,想一下正弦函数定义或者正弦函数图像就知道,sin(π/2 + α)中,α是任何象限角sin(π/2 + α)的结果都是cosα,原因很简单,首先π/2里头,k相当于1是奇数,从图像或定义很容易理解必定要变函数名为cos,然后,如果α在第一象限,则π/2 + α在第二象限,第二象限中sin(π/2 + α)为正,但是我们是要将sin(π/2 + α)转成cosα的,cosα在第一象限为正,则在cosα加正号即可.同理,如果α在第二象限,则π/2 + α在第三象限,第三象限中sin(π/2 + α)为负,但是我们是要将sin(π/2 + α)转成cosα的,cosα在第二象限为负,则要在cosα前加正号即可.当α为第三或者第四象限角的时候同理.

我想表达的意思就是sin(π/2 + α)(cos同理)的结果是+cosα还是﹣cosα是不会因为α的角度变化而产生变化的.那么为什么我们不能假设α是在第一象限,以求得符号呢(因为在把α视作第一象限角会很容易判断出符号,因为在第一象限里头,sinαcosα的符号都是正号,此时左式sin(π/2 + α)的符号可以直接加在右式,也就有了所谓的符号看象限之说).当然我们也完全可以假定α是第二三四象限角来得出结果,但是当α在二三四象限的时候,右式中sinαcosα就并不都为正了,此时我们需要根据情况适当调整正负号,比如将α角看成第三象限角,此时sinαcosα都为负,那么,左式中π/2+α如果落在的象限使得左式sin(π/2 + α)为负,那么右边就添一个正号,反之亦然.此时就可以有这样的口诀,奇变偶不变,符号看象限的相反数

总结

说的有点乱,大神们可能觉得我这种问题很无聊或者很low很简单,😆我也会感觉我是不是把问题复杂化了😁欢迎大佬指点

总之,符号看象限 这个说法,是建立在将α视作锐角的前提下进行的(不管α是不是锐角,必须视作锐角这句口诀才能生效)

月月说要给我打赏,就还是放了二维码,😝